7.
Cvičení - Lambertovo
zobrazení, růžicové, sloupcové, konturové diagramy
Pro řešení konstrukčních úloh a
výpočtů vztahů geologických prvků, kde postačuje přesnost ± 2 – 3°, se
využívají metody založené na stereografických projekcích. Jedná se o projekce do
roviny, zpravidla tečné k referenční ploše. Podle vlastností, které jsou
při transformaci zachovávány, se projekce rozděluje na plochojevnou,
délkojevnou a úhlojevnou. Podle tělesa, na které je zobrazována referenční
plocha (elipsoid), se projekce rozděluje
na válcovou, kuželovou, azimutální a smíšenou (obr. 7.1).
V současné době je
v geologii často používanou metodou - Lambertova
azimutální plochojevná projekce. Její podstatou je projekce nebo přenesení
bodu ležícího na povrchu koule, pomocí jasně definovaných matematických vztahů,
do zvolené roviny, přičemž zobrazovaný prvek prochází vždy středem koule
(sférická projekce). Geologické prvky se potom zobrazí jako průsečíky (u
lineárních prvků) a průsečnice (u planárních prvků).
Body kulové plochy jsou
zobrazovány v projekčních rovinách, které jsou tečnami ke kulové ploše.
V praxi se používají dva základní tečné body, tj. středy sítě. Jedná se o
jižní pól (nejnižší bod na kouli) a dále o průsečík poledníku s rovníkem (viz. obr. 7.2).
Přenesením souřadnic poledníků a rovníků do takto definovaných projekčních rovin vzniknou dva základní typy
zobrazovacích sítí: pólová síť a poledníková síť.
Pólová síť (viz. obr. 7.3a) je zobrazením
poledníků a rovníků do projekční roviny tečné k referenční ploše
v jejím pólu (tzn. síť je zobrazením jen spodní polokoule). U této sítě se
rovnoběžky zobrazují jako koncentrické kružnice a poledníky jako radiální
úsečky. Zobrazené rovnoběžky jsou množiny bodů o stejných hodnotách úhlu, který
svírá rovina rovníku a přímky spojující střed koule s jednotlivými body dané
rovnoběžky (viz.
obr. 7.2). V geologii se tento úhel označuje jako úklon φ.
Nulová hodnota úhlu leží na obvodu kružnice sítě (průmět rovníku), hodnota 90°
úhlu je potom ve středu sítě (průmět pólu koule).
Poledníková síť (viz. obr. 7.3b) vzniká
přenesením poledníků a rovnoběžek do projekční roviny, která je tečnou
k referenční kouli v průsečíku poledníku a rovníku. Rovník je zde
zobrazen jako vodorovný průmět kruhu, rovnoběžky, jako tzv. malé oblouky.
Poledník spojující N – S je přímkou procházející středem sítě, poledník
procházející W – E se jeví jako obvodová kružnice. Ostatní poledníky se
zobrazují jako tzv. velké oblouky.
Pomocí sítí se zobrazují
lineární a planární prvky v prostoru. Pólová síť slouží hlavně k vynášení
lineací, poledníková síť pak k vynášení planárních prvků a to zejména
v případě, kdy mají být zobrazeny průsečnice s referenční polokoulí.
Poledníková síť slouží současně i k různým konstrukcím a pracovním
operacím.
Při práci v terénu se místo
sítí používají pracovní průsvitky, jenž mají vyznačenou obvodovou kružnici,
střed a sever (N). Přiloží-li se průsvitka na síť tak, aby měly totožné středy
a souhlasný sever, je průsvitka v tzv. základní
poloze.
Vynesení přímky
Přímka L je dána směrem úklonu AL
a úklonem λ. Hodnoty se získají z měření geologickým kompasem
v terénu (viz. kap. 6. - Měření geologickým kompasem). Zobrazovaná přímka
se na referenční ploše promítá jako bod (obr. 7.4).
Vynesení lineárního prvku (obr. 7.5) se
pomocí pólové sítě provádí následovně: z terénních měřeních je určena
hodnota lineace 225/45 (AL/λ). Pro vynesení
prvku se využije průsvitka, která se přiloží v základní poloze na pólovou síť.
Úhlová hodnota směru úklonu AL se vynese po obvodu kružnice ve směru
pohybu hodinových ručiček. Ze vzniklého bodu azimutu se dále, směrem ke středu
sítě, vynese hodnota úklonu, přičemž 0° je na obvodu kružnice a 90° představuje
střed sítě. Kružnice jsou vymezeny v intervalu zpravidla 10° .
Prostřednictvím pólové sítě lze
vynést i plošný prvek jako projekci jeho spádové přímky nebo normály. Plošný
prvek se bude v pólové síti opět zobrazovat jako bod, tzn. jako průsečík
s projekční polokoulí (viz. obr. 7.6).
Zobrazení roviny pomocí spádové přímky
má totožný postup jako zobrazení obecné přímky (obr. 7.7a).
Úhel Aφ spádové přímky odpovídá úhlu AL obecné
přímky a úklon spádové přímky φ odpovídá úklonu obecné přímky λ.
Projekce roviny pomocí normály,
která svírá se spádovou přímkou úhel 90° a leží v téže vertikální rovině,
se provádí následovně: průsvitka se přiloží v základní poloze na síť.
Nalezne se projekce spádové přímky S´(viz. obr. 7.7a)
a přes střed se odpočítá úhel o hodnotě 90°. Takto se zobrazí bod P´,
který představuje hledaný pól roviny (obr. 7.7b).
Přímku lze vynést i pomocí
poledníkové sítě (obr.
7.8a). Průsvitka se přiloží na síť v základní poloze a vynese se
hodnota směru úklonu AL od severu ve směru pohybu hodinových
ručiček. Vzniklý bod azimutu se natočí na rovník a podél rovníku se vyznačí
hodnota úklonu λ (0° na obvodu, 90° střed). Po určení průsečíku přímky se
průsvitka natočí nazpět do základní polohy. Stejný postup se používá i pro
zobrazení roviny pomocí projekce spádové přímky a normály (obr. 7.8b).
Při vynášení výše uvedených
prvků, je vždy nutné do průsvitky uvést, zda je zobrazován lineární nebo
planární prvek. V případě planárního prvku je pak nezbytné rozlišit projekci
pomocí spádové přímky nebo pólu. Tím se zajistí, že nedojde k jejich
záměně a ke špatnému čtení průsvitky.
Vynesení roviny
velkým obloukem
Projekce roviny pomocí velkého
oblouku (obr. 7.9) se provádí
při ojedinělých měřeních, tzn. že nechceme zpracovávat značně velké soubory dat
(statická vyhodnocení). Projekce má významné uplatnění ve speciálních
geometrických úlohách, jako např. konstrukce průsečnice dvou rovin, rotace aj.
Pro vynesení roviny velkým
obloukem se zásadně používá poledníková síť. Z terénních měření je
stanovena foliace 120/60. Průsvitka je orientovaná v základní poloze. Po
obvodu se vynese směr úklonu Aφ = 120°. Průsvitka se poté natočí na rovník a směrem ke
středu sítě se zaznačí hodnota úklonu φ = 60°. Získá se bod
S´, který je projekcí spádové přímky roviny. Bodem S´ prochází poledník (velký
oblouk), který se překreslí (obr. 7.10).
Zobrazení
lineárního prvku pomocí pozičního úhlu ξ v dané rovině.
Jak bylo uvedeno v kap. 6. - Měření geologickým
kompasem, může být lineární prvek určen pozičním úhlem ξ
v dané rovině. Např. z geologického měření je známa hodnota pozičního
úhlu lineárního prvku ξ = 30° v rovině 130/40. V první řadě se zobrazí
rovina velkým obloukem, tzn. že se použije poledníková síť. Na velkém oblouku
se nalezne bod L´ prostřednictvím malých oblouků, které ho rozdělují na 180°.
Bod L´ odpovídá pozičnímu úhlu ξ = 30° (obr. 7.11).
Při vynášení pozičního úhlu je potřeba si uvědomit, že 0° je po naší pravé ruce
při čelním pohledu na rovinu (viz.
kap. 6. - Měření geologickým kompasem).
Pokud se bod L´ natočí na
rovník, lze odečíst podél rovníku hodnotu úklonu λ. Současně s tím se
na obvodu vyznačí čárka, která odpovídá azimutu směru úklonu obecné přímky AL.
Pro odečet azimutu se průsvitka vrátí do základní polohy. Tím se nepřímo získá
hodnota zápisu lineárního prvku AL/λ (obr. 7.12).
Hodnota zápisu lineárního prvku
AL/λ se dá odečíst i na pólové síti. Průsvitka se přiloží
v základní poloze na síť a hodnota se odečítá přímo (obr. 7.12).
7.1 Zpracování
naměřených souborů dat lineárních a planárních prvků
Mezi základní druhy diagramů,
které lze pro zpracování souborů geologických dat použít, patří bodové,
průsečnicové (jejich konstrukce již byla probrána, obr. 7.1.1), sloupcové, růžicové,
konturové aj. diagramy.
Sloupcové
diagramy
Sloupcový diagram zpracovává
geologická data ve formě vyjádření četnosti jejich výskytu. Diagram má
pravoúhlý souřadnicový systém. Podélná osa (x-osa) je rozdělena do zvolených
intervalů, které představují nejčastěji azimutální hodnoty geologických prvků
(např. směr nebo směr úklonu). Hodnota intervalu se volí zpravidla kolem 10°
podle velikosti sloupcového diagramu. Na příčné ose (y-osa) se vynáší četnost
výskytu prvku pro daný interval (obr. 7.1.2).
Dříve, než se přistoupí
k samotnému vynášení hodnot, je potřeba sestavit tabelární přehled,
v němž se čárkami zaznamená počet měření, která spadají do příslušného
směrového intervalu.
Tab. 7.1.1 Tabulární přehled
|
interval |
střední hodnota |
četnost výskyty |
celkem |
|
7-16 |
10 |
// |
2 |
|
17-26 |
20 |
/// |
3 |
|
27-36 |
30 |
////////// |
10 |
|
x |
x |
|
x |
|
x |
x |
|
x |
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
celkem |
210 |
Sloupcový diagram představuje
také výchozí podklad pro další graficko-statistické vyhodnocení geologických
dat. Slouží pro konstrukci, např. křivky četnosti (frekvenční křivky),
kumulativní křivky aj.
Růžicové
diagramy
Růžicový diagram je obdoba
sloupcového diagramu, rozdíl je pouze v souřadnicovém systému. Jedná se o
kruhový diagram, kde azimutální hodnoty geologického prvku (směr, směr úklonu)
jsou vynášeny po obvodu kružnice od severu a četnosti na radiální úsečky
procházející středem kružnice (poloměry).
Poloměr kružnice diagramu se
volí tak, aby nebyl menší než maximální hodnota četnosti výskytu geologického
prvku. Tzn., že když je maximální hodnota
četnosti 18 a chceme, aby poloměr kružnice nepřesáhl 9 cm, četnost 1
bude vyjádřena na poloměru úsečkou délky 0,5 cm.
Pro azimutální rozdělení lze
využít úhloměr nebo pólovou síť. Dělení je obvykle v intervalu 10°.
Tak jako v předchozím
případě je nutné sestavit tabelární přehled. Z tab. 7.1.2 vyplývá, že do
směru 10° připadá 8 měření, do směru 20° 6 měření, do směru 30° 1 měření.
Samotné zpracování se provede tak, že se od středu kružnice vynese na radiální
úsečce s azimutem 10° četnost 8 měření, tzn. úsečka o délce 4 cm. Totožný
způsob vynesení se provede na radiální úsečce s azimutem 20°, v tomto
případě úsečka o délce 3 cm a 30°, úsečka o délce 0,5 cm atd.. Výsledný diagram
vzniká postupným spojením koncových bodů všech úseček (obr. 7.1.3).
Tab. 7.1.2 Tabulární přehled
|
interval |
střední hodnota |
četnost výskyty |
celkem |
|
7-16 |
10 |
//////// |
8 |
|
17-26 |
20 |
////// |
6 |
|
27-36 |
30 |
/ |
1 |
|
x |
x |
|
X |
|
x |
x |
|
X |
|
x |
x |
|
X |
|
|
|
celkem |
80 |
Konturové
diagramy
Výhodou konturových diagramů je to,
že zachovávají komplexnost prostorových údajů. Tzn., že oproti růžicovému a
sloupcovému diagramu, ze kterých vyčteme jen převládající směr úklonu
geologického prvku, je v konturovém diagramu zohledněna také velikost
úklonu.
Výchozím podkladem diagramu je
diagram bodový, který se převádí pomocí čtvercové sítě, středového a obvodového
počítače na číselný. Podstatou převodu je zjištění hustoty dat na 1 % plochy
průsvitky.
Středový počítač
je čtvereček, např. z tvrdého papíru, do něhož se vyřízne otvor kruhového
tvaru o průměru 1/10 průměru průsvitky. Plocha výřezu je potom 1/100, tj. 1 %
celkové plochy průsvitky.
Obvodový počítač
je představován dvěma takovými otvory, které jsou spojenými proužkem
s úzkou štěrbinou v jeho středu. Otvory se pohybují po obvodu
průsvitky, tzn. že vzdálenost středů otvorů musí být rovna poloměru kružnice
průsvitky.
Postup zpracování konturového
diagramu je pomocí výše uvedených pomůcek následující (Foldyna,Grmela, 1988):
Z naměřených hodnot se
sestaví pomocí průsvitky bodový diagram. Ten se přiloží na čtvercovou síť a
ztotožní se střed průsvitky se středem rastru čtvercové sítě. V dalším
postupu se uplatní čtvercový počítač, jenž se přikládá středem svého výřezu na
některý s průsečíků podložené čtvercové sítě. V otvoru se sečtou
všechny vyskytující se body a číselně se zaznačí na průsvitku v průsečíku
podložní sítě (obr.
7.1.4). Nyní se posune počítač na následující průsečík sítě a proces se
opakuje (zleva doprava směrem shora dolů). Takto se postupuje dokud nejsou
zpracovány všechny průsečíky sítě.
Čtvercovým počítačem nelze však
vyhodnotit všechny body průsvitky. Výjimkou jsou body, kde středový výřez
zasahuje vně obvodové kružnice. Pro řešení se použije obvodový počítač, jenž se
umístí svým středem na střed průsvitky (symetrická poloha). Otáčením se
postupně naleznou průsečíky obvodové kružnice s čarami čtvercové sítě.
V takové poloze se potom sečtou body na obou stranách výřezu a součet se
zaznamená na obě strany obvodové kružnice. Zbylé průsečíky se zpracují
obvodovým počítačem v nesymetrické poloze. Tzn., že jeden
z protilehlých výřezu je svou větší části uvnitř kružnice. V takovém
případě se sečtou všechny body na obou stranách výřezů, avšak součet se napíše
jen do jednoho výřezu, a to do toho, který zasahuje do průsvitky větší plochou
(obr. 7.1.4).
Pro převod bodového diagramu na
číselný lze použít i tzv. Kalsbeekovy počítací sítě. Jedná se o sítě, které
jsou rozděleny na šestiúhelníky řadou trojúhelníkůu (obr. 7.1.5). Plocha
šestiúhelníků je opět rovna 1 % plochy počítací sítě. Princip vyhodnocení je
totožný jako v předchozím případě. Body, které jsou lokalizovány uvnitř
šestiúhelníku jsou sečteny a hodnota je připsána na střed. Sčítání na obvodové
kružnici sítě je totožné s postupem při práci s obvodovým počítačem
v symetrické poloze (Foldyna, Grmela, 1988).
Konturový diagram vzniká
z číslicového, jestliže se vyjádří hustota dat připadající na 1 % plochy
průsvitky pomocí izolinií (obr.
7.1.6).
7.2
Úlohy
a programy
Program č.1
Zobrazte v Lambertových sítích.
Hodnoty vynášejte prostřednictvím obou sítí, současně kombinujte
zobrazení pomocí spádové přímky, pólu nebo velkého oblouku.
|
L=135/35 |
L=65/10 |
L=40/40 |
L=5/10 |
|
30/30 (W) |
F=210/20 |
105/35 (S) |
L=200/60 |
|
L=150/85 |
F=200/16 |
270/180/30 |
L=180/50 |
|
L=330/40 |
F=110/20 |
F=350/40 |
90/180/20 |
Program č.2
V rovinách uvedených v programu č. 1 zobrazte lineární
prvek 105°, 50°, 75°, 20°, 60°.
Program č.3
U lineárních prvků zobrazovaných pozičním úhlem stanovte hodnoty
AL a λ.