Pozor na XY grafy v Excelu

Doc. Dr. Vladimír Homola, Ph.D.

Anotace

Článek upozorňuje na nebezpečí mylného nazírání průběhu funkce zobrazené XY grafem v Excelu.

Úvod

Grafy v Excelu znázorňující průběh funkce jsou založeny nikoliv na analytickém předpisu funkce, ale na množině dat tvaru [x_i,{y_i1,i2,...}]. Za "funkční čáru" je pak vydávána lomená (nebo "hladká") čára spojující jednotlivé body. Právě to může nevhodnou volbou bodů funkce zcela zkreslit představu o průběhu funkce.

Modelová funkce

Jako modelovou funkci pro ukázku zmíněné citlivosti na volbu bodů funkce zvolme rovnici tlumeného harmonického oscilátoru
 

                (1)

s parametry A₀=3;   d=0,03;   W=3;   j=0.

Sledujme chování funkce (1) pro časový interval <0,100>. V něm je skutečný průběh funkce následující:
 

Obr. 1: Skutečný průběh funkce (1)

Dvě mylné představy

Pro znázornění průběhu funkce grafem XY je zapotřebí vytvořit tabulku funkčních hodnot ("tabelovat funkci"). Nejprve měňme nezávisle proměnnou (=čas) t s nějakým krokem; od 0 do 100 je daleko, nejdříve tedy člověka napadne hodnota kroku 1. Dobrá tedy, tabulka funkčních hodnot je
 

Graf XY takto tabelovaných hodnot je na následujícím obrázku:
 

Obr. 2: Graf hodnot z tabulky 1 - jen čáry

Je pravdou, že oko nematematika, nefyzika je potěšeno - graf je pohledný, harmonický, pěkně se vlní kolem osy X (hle, osciluje!) a dokonce čím dál míň, jako by ho tlumila únava. A zmíněný nematematik, nefyzik odchází s dobrým pocitem, že už ví, co to je tlumený harmonický oscilátor.

Nechť nyní jiný nematematik, nefyzik si nechá stejné hodnoty zobrazit ne spojnicemi bez bodů, ale body bez spojnic:
 

Obr. 3: Graf hodnot z tabulky 1 - jen body

Ovšem tento druhý nematematik, nefyzik má zcela jinou představu než první. Především jeho oko vidí ne jednu, ale dvě čáry (mimochodem s celkem správným zobrazením, nikoliv však s danými parametry) s celkem pochopitelným průběhem - také jsou pohledné, harmonické, také se vlní a také tlumeně. Ale jeho mysl je zmatena; z hloubi své paměti doluje útržky informací spojených s oscilátorem - snad kulička (jedna), závaží na pružině (jedno) nebo tak něco. Kde se tedy vzalo to druhé a co to je? Tento druhý nematematik, nefyzik už s tak dobrým pocitem neodchází.

Zdroj problému

Zdroj problému spočívá ve volbě kroku. V uvedeném případě byl zvolen krok roven 1; pro správnou - byť mnohdy hrubou - představu je zapotřebí volit krok menší než čtvrtina intervalu mezi dvěma "sousedními" inflexními body, což zde splněno není. Nastalo zde tedy toto: body tabelované s krokem 1 samozřejmě leží na funkční křivce, ale takto:
 

Obr. 4: Poloha tabelovaných bodů na křivce

Objekt třídy "Graf", který Excel používá, pak jen mechanicky spojí úsečkou dva sousední body z množiny zadané jako "Zobrazovaná data" (to mimochodem vyžaduje, aby data pro smysluplný XY graf byla seřazena vzestupně dle X). Výsledkem je pak místo správného (modrého) průběhu nesprávný (červený):
 

Obr. 5: Mylný průběh vzhledem ke skutečnému

Závěr

Odstranit problém se zdá jednoduché: stačí zjemnit krok. Je však zapotřebí si uvědomit, že Excel je široce používaný program právě zmíněnými ne-matematiky a ne-fyziky, kteří se občas ve svém oboru dostanou k nutnosti "podívat" se na funkční závislost. Tito uživatelé rozhodně neprovádí nejdřív analýzu funkce. A ruku na srdce, i mnohý matematik a fyzik při potřebě rychle získat představu o nějaké funkci se dlouho přípravou dat nezabývá.

Zde zmíněné jádro problému tuší dobře ti, kdo se pokusili jednou řadou vykreslit velmi jednoduchou čáru - hyperbolu y = 1 / x. V nule tabulková hodnota spočíst nejde a místo aby graf zobrazil známé dvě křivky asymptoticky se přibližující ose Y, spojí poslední záporný a první kladný bod nesmyslnou úsečkou.

Je proto třeba mít uvedené skutečnosti na paměti a není-li průběh funkce z jejího předpisu obecně znám, udělat několik pokusů s různými kroky a nejlépe na různých intervalech.

Rev. 10 / 2004