Metody lokálních odhadů v prostoru

Doc. Dr. Vladimír Homola, Ph.D.

Obecné úvahy

Tato kapitola bezprostředně navazuje na kapitolu "Interpolace a extrapolace v prostoru" a její úvodní pasáže je nutno mít neustále na zřeteli: neustále je řeč o obecných statistických pojmech, o hodnocení uspořádaných trojic vzniklých z jakýchkoliv výběrových množin. Abstraktní matematický popis jednotlivých metod je na jedné straně jediný korektní, na druhé straně málo názorný.

Právě pro názornost je v následujících odstavcích důsledně použito geometrizace problémů: uspořádaná trojice je považována za "bod" v "prostoru", přičemž hodnoty dvou statistických nezávisle proměnných jsou považovány za souřadnice průmětu bodu do "půdorysny" - roviny XY, třetí hodnota statistické závisle proměnné je považována za orientovanou vzdálenost od této roviny. Zůstává ovšem skutečností, že v geo- vědách je dvojice nezávisle proměnných skutečně souřadnicí na zemském povrchu nebo jeho rovinném zobrazení. Třetí závisle proměnná je ovšem skutečnou nadmořskou výškou jen v úlohách digitálních modelů terénu; všude jinde je to nějaká zkoumaná veličina.

Demonstrovat to lze na následujícím příkladu: pro jistý tlak v [atm] a při jisté teplotě v [^oC] byl zjištěn jistý objem v [m³] zkoumaného plynu, zde hélia. Zjištěné objemy pro dané tlaky a teploty jsou v tabulce, odpovídající vizualizace v prostorovém grafu. Jistě zde "půdorysna" určená osami tlaku a teploty má daleko k reálnému terénu.

 

 

Přesto budou v následujících odstavcích vysvětlovány pojmy na terénních modelech.

Definice problému

Problém jest následující: na jisté zájmové ploše (v terénu) mějme - obecně velmi nepravidelně - rozmístěno několik lokalit, ve kterých jsou známy (např. po analýze odebraného vzorku) hodnoty veličiny, kterou sledujeme - viz následující obrázek. Úkolem je poskytnout co nejlepší odhad hodnoty sledované veličiny v libovolném místě zájmové plochy, a to na základě oněch několika známých hodnot. Známe hodnoty jsou uvedeny převážně v tabulkové formě jako např. v příkladě shora.

 

 

Tato základní formulace úlohy definuje tzv. bodové odhady. Výchozím elementem je zde bod v terénu a známá hodnota sledované veličiny v něm.

Shora formulovaná úloha je v praxi asi nejčastěji řešená. Jde o trojrozměrnou úlohu: dva rozměry (určované většinou souřadnicemi x a y) tvoří zájmová plocha - terén, třetím rozměrem je sledovaná veličina. V geo- praxi je úloha často chápána čtyřrozměrně: známé body leží ne v rovině, ale v prostoru - v horninovém bloku, geologickém tělese ap. Poloha bodu je dána souřadnicemi x a y udávajícími průmět bodu na zemský povrch, a souřadnicí z udávající např. hloubku, nadmořskou (podmořskou) výšku ap. Hodnoty sledované veličiny jsou pak čtvrtým rozměrem.

V obou případech je možno formulaci úlohy rozšířit na tzv. blokové odhady. Známé hodnoty jsou vázány ne na body, ale jsou získávány ze vzorků určité plochy s nebo určitého objemu v. Cílem metod je v tomto případě získat nejlepší odhad sledované veličiny v jiné ploše s (objemu v) dané polohy na základě těchto známých hodnot.

Další výklad se bude pro názornost opírat o bodové odhady a trojrozměrný model. Bude tedy řešit problém naznačený na obrázku:

 

 

Modelová data

Jednotlivé metody budeme demonstrovat na následujícím příkladu:

V několika lokalitách Ostravy byl zachytáván spad a měsíčně analyzován na některé znečišťující látky. Výsledky pro SO₄ jsou uvedeny v následující tabulce spolu s polohou místa ve Vítkovicích, ve kterém hodnoty SO₄ budou jednotlivými metodami odhadovány. Poloha lokalit je dána vzdáleností v [m] od poledníku, jdoucího 15 km východně od poledníku 18^o, a od rovnoběžky, jdoucí 83 km severně od rovnoběžky 49^o.

 

Metoda nejbližšího souseda

Tato metoda je nejjednodušší a nejrychlejší. Používá se často pro první prostorový náhled na zadaná data. Odhadem hodnoty v místě X je prostě hodnota nejbližšího známého místa.

Modelová data znázorněná touto metodou jsou na následujícím obrázku:

 

 

Protože místu ve Vítkovicích je nejbližší místo v Mariánských Horách, je odhadem hodnoty SO₄ ve Vítkovicích touto metodou hodnota 52,050.

Metoda trojúhelníková

Metoda trojúhelníková poskytuje odhad neznámé hodnoty pomocí lineární závislosti. Lineárním útvarem je ve trojrozměrném prostoru rovina. Rovina z je dána rovnicí

z ş a.x + b.y + c

přesněji: bod P = [x_P, y_P, z_P] leží v rovině z, jestliže pro x_P, y_P a z_P platí

z_P = a . x_P + b . y_P + c (1)

Rovnice roviny obsahuje tři koeficienty. To naopak znamená, že pro určení konkrétní roviny (tj. určení jejich koeficientů a, b a c) jsou zapotřebí tři známé body P=[x₁, y₁, z₁], Q=[x₂, y₂, z₂], R=[x₃, y₃, z₃]. Pro ně musí platit

z₁ = a . x₁ + b . y₁ + c
z₂ = a . x₂ + b . y₂ + c          (2)
z₃ = a . x₃ + b . y₃ + c

Protože všechny x_i, y_i a z_i jsou známé, řešením této soustavy jsou hledané koeficienty a, b a c té roviny, která body P, Q a R prochází.

Nechť nyní je dáno (např. tabulkově) několik trojic hodnot chápaných jako souřadnice bodů v prostoru. Nechť jest odhadnout z-ovou hodnotu v místě o "půdorysu" X, tj. v místě s danými souřadnicemi [x₀,y₀]. Vyberme proto tři "body" P, Q a R tak, aby X ležel uvnitř trojúhelníku získaného jako průmět trojúhelníku PQR (viz následující obrázek).

 

 

Známými body P, Q a R je určena rovina, jejíž koeficienty lze určit řešením soustavy (2). Hledaný odhad Z_x je pak dán vztahem

Z_x = a.x₀ + b.y₀ + c

Uvedený postup demonstrujme na modelových datech. Odhadněme hodnotu SO₄ pro Vítkovice. Okolními místy jsou Zábřeh, Mariánské Hory a Kunčice. Pro výpočet koeficientů roviny jdoucí těmito místy sestavíme soustavu

Řešme např. pomocí determinantů. Jest

a tedy koeficienty roviny

Dosazení souřadnic Vítkovic do rovnice roviny s těmito koeficienty dává odhad 49,180.

Trojúhelníková metoda však skrývá jistý prvek náhodnosti. Uvažujme následující data: P=[1,1,1], Q=[3,1,10], S=[3,1,10], R=[3,3,1]. Jaký je odhad pro X=[2,2]?

 

 

Situaci znázorňuje předchozí obrázek. Ona náhodnost spočívá ve volbě trojúhelníka. Je-li zvolen PRS, je odhadem hodnota 1. Je-li zvolen QRS, je odhadem hodnota 10, tedy diametrálně odlišná.

Je zřejmé, v čem je problém: data mají velký rozdíl mezi "sousedními" hodnotami. Pohříchu právě takový charakter má většina geo- dat, proto zvláště na taková data není radno metodu aplikovat. Metoda se naopak s dobrými výsledky používá v případech, kdy sledované hodnoty v "blízkých" místech nemají příliš velký rozptyl.

Metoda inverzní vzdálenosti

Metoda inverzní vzdálenosti je jednou z metod, kterou by bylo možno označit jako "příspěvková". Hodnotu sledované veličiny v místě X si lze představit jako souhrn příspěvků z jednotlivých známých míst do X. Jednotlivé příspěvky jsou závislé především na jednotlivých známých hodnotách, a dále na vzdálenostech od bodu X.

 

 

Logicky (viz předchozí obrázek): příspěvek místa A se známou hodnotou 1 do místa X bude jistě menší než příspěvek místa B se známou hodnotou 10 do téhož místa X. Velikost příspěvku se zdá přímo úměrná velikosti hodnoty. Na druhé straně příspěvek do místa X z místa C vzdáleného 10 bude jistě větší než příspěvek z místa D vzdáleného 50. Velikost příspěvku se zdá nepřímo úměrná vzdálenosti.

Jistou analogii lze pozorovat např. u silových polí (gravitačního ap). Odhlédneme-li od vektorového tvaru a od případné konstanty a označíme-li M_i známou hodnotu v i-tém místě, r_i vzdálenost i-tého místa od místa X, pak neznámou hodnotu M_x v místě X by bylo možno odhadnout jako souhrn

kde k je vhodná mocnina vzdálenosti (např. 1 nebo 2, nebo i třebas 1,3).

Vzorec (3) vyhovuje logickým předpokladům uvedeným shora: i-tý příspěvek je tím větší, čím je větší M_i a tím menší, čím je větší r_i. Má však jednu zásadní nevýhodu. Pokud se totiž místo X nekonečně blíží nějakému místu se známou hodnotou (např. k prvnímu) - tj. r₁ se nekonečně zmenšuje - pak se M₁/r₁ a tím i celý součet (3) nekonečně zvětšuje. Avšak čím blíže je místo X k místu prvnímu, tím více by se měla hodnota M_x blížit hodnotě M₁ a ne růst nade všechny meze. Vztah (3) tedy není obecně použitelný.

Proto se v praxi používá obdobného vztahu, který diskutovanou vadu nemá:

I vztah (4) vyhovuje logické úvaze: M_x je přímo úměrné M_i a nepřímo úměrné r_i, a navíc platí

pro všechna i.

Na modelových datech určeme nyní odhad hodnoty SO₄ ve Vítkovicích metodou inverzní vzdálenosti. Podle (2) je zapotřebí zjistit vzdálenosti místa X ve Vítkovicích od míst M_i v ostatních obvodech. Označíme-li dX a dY rozdíly x-ových a y-ových souřadnic míst X a M_i, je podle Pythagorovy věty

Hodnoty dX a dY spolu s ostatními výpočty udává následující tabulka:

 

 

Odhad hodnoty SO₄ metodou inverzní vzdálenosti pro Vítkovice je tedy 0,0631/0,0014=45,559.

Další metody

Existuje řada dalších metod (nejmenší křivosti, radiální báze, multikvadratická, a zvláště tzv. krigování). Jejich podstata je však složitější, a proto jsou uvedeny v případných samostatných kapitolách.

 

 

Rev. 10 / 2002