Zobrazení, operace

Doc. Dr. Vladimír Homola, Ph.D.

Zobrazení

Definice: F je zobrazení z A do B, právě když je F (binární) relace z A x B a současně platí:

" a Î A, b Î B, c Î B : aFb Ů aFc ® b=c

jinak řečeno: jednomu a z A "odpovídá" v zobrazení F nanejvýš jedno b z B.

Příklad: Relace < z předchozího příkladu není zobrazení z A do A, protože je jednak 3<5 a jednak např. 3<7. Prvek 3 není v relaci s nejvýš jedním prvkem.

Označení: Shora definované zobrazení se také značí F:A® B. Skutečnost, že xFy, se také zapisuje y=F(x).

Definice: Je-li F zobrazení, aFb, pak se prvek a nazývá vzor prvku b a prvek b obrazem prvku a.

Definice: Množina všech vzorů zobrazení F ze nazývá definiční obor D(F) zobrazení F. Množina všech obrazů zobrazení F se nazývá obor hodnot H(F) zobrazení F:

D (F) = { a ˝ a Î A Ů $ b Î B : [a,b] Î F }

H (F) = { b ˝ b Î B Ů $ a Î A : [a,b] Î F }

Definice: Je-li D(F) = A, pak se F nazývá zobrazení (celé) A. Je-li H(F) = B, pak se F nazývá zobrazení na B. Existují tedy celkem čtyři zobrazení, terminologicky zachycená takto:

 

F : A® B D(F) Ě A D(F) = A
H(F) Ě B zobrazení z A do B zobrazení A do B
H(F) = B zobrazení z A na B zobrazení A na B

 

Definice: Mějme F: A ® B. Zobrazení F se nazývá prosté, platí-li:

" a Î A, b Î A, c Î B : aFc Ů bFc ® a=b

jinak řečeno: dva různé vzory z A nemohou mít v prostém zobrazení F stejný obraz v B.

Příklad: Na množině I přirozených čísel ( I = {1, 2, 3, ...}) je dána relace § takto: x § y ş y=x+1. Tato relace je tedy množinou dvojic typu [x, x+1], kde x Î I. Je-li x§y (tedy y=x+1) a současně x§z (tedy z=x+1), je evidentně y=z. Relace § je tedy zobrazení. Definičním oborem je celá množina I: každému vzoru xÎI odpovídá - dokonce právě jeden - obraz y=x+1ÎI. Oborem hodnot však není celá množina I (prvek 1ÎI není obrazem žádného vzoru xÎI; mělo by být 0§1, ale 0ĎI). Zobrazení § je tedy zobrazení (celé) I do I (nikoliv na I).

Operace

Definice: Nechť M1, M2, ... , Mn, V jsou libovolné množiny. F je n-ární operace z M1 ´ M2 ´ ... ´ Mn do V, je-li F (n+1)-ární relace, F Í M1 ´ M2 ´ ... ´ Mn ´ V, a platí-li:

" ai Î Mi, " z,u Î V : [a1, a2, ... , an, z] Î F Ů [a1, a2, ... , an, u] Î F ® z=u

Definice: n-tice a=[a1, a2, ... , an] se nazývá operandy operace F, prvek zÎV se nazývá hodnota operace F na operandech a. Velmi často se zapisuje z = F (a) nebo z = F (a1, a2, ... , an).

Poznámka: Zobrazení definované v předchozím odstavci je unární operací ve smyslu definice n-ární operace. Obecně n-ární operace má n operandů. Specielně nulární operace nemá žádný operand; je pak z=F(), a protože zÎV, je nulární operace množina s nejvýš jedním prvkem. Nulární operace slouží k výběru tohoto prvku.

Příklad: Zobrazení § z příkladu předchozího odstavce je tedy unární operací z I do I. Je-li y=§ x, je y=x+1. Je proto §3=4, §28=29, §(x+5)=x+6 pro xÎI atd.

 

 

Rev. 10 / 2002